Эдуард Кребсбах родился 8 августа 1894 года в Бонне. Посещал гуманитарную гимназию в Кёльне. С 1912 года изучал медицину во Фрайбургском университете, однако в связи с началом Первой мировой войны ему пришлось прервать учёбу. В 1919 году получил степень доктора медицинских наук, защитив диссертацию «О состоянии спирохет в мозжечке при параличе». В том же году во Фрайбурге стал одним из основателей местной группы немецкого народного союза обороны и наступления. В середине 1920 года уехал из Фрайбурга и работал главным районным врачом, а также занимался медицинской практикой на предприятиях.
Осенью 1941 года начал службу в концлагере Маутхаузен в качестве главного лагерного врача. По своему служебному положению был подчинён отделу D III (санитарное обслуживание и лагерная гигиена) Главного административно-хозяйственного управления СС, а также контролировал санитарную деятельность и медицинский персонал в лагере. Кребсбах определял в рамках акции 14f13rude нетрудоспособных и больных заключённых для введения им смертельной инъекции бензина в сердце. В 1942 году под его надзором посредством смертельных уколов были убиты 900 русских, чешских и польских заключённых больных туберкулёзом. Кроме того, отвечал за установку газовой камеры в подвале лагерной больницы. В конце 1942 года в присутствии Кребсбаха примерно 120-130 чехов были удушены газом в связи с их причастностью к покушению на Рейнхарда Гейдриха. В том же году стал штурмбаннфюрером СС.
22 мая 1943 года Кребсбах застрелил ночью солдата вермахта, нарушавшего общественный порядок неподалёку от его дома. Потом был переведён в концлагерь Рига-Кайзервальд, где был главным врачом, руководил санитарной службой и контролировал медицинский персонал как в основном лагере, так и в сублагерях. Кребсбах участвовал в селекции нетрудоспособных и больных заключённых, которые позднее были либо убиты смертельными инъекциями, либо расстреляны в окрестных лесах. По свидетельствам выживших людей, проводил медицинские эксперименты над заключёнными, вводя им возбудители тифа. В конце июля 1944 года под его непосредственным руководством было убито 200 старых и больных заключённых в сублагере Рига-Мюльграбен.
С осени 1944 года был капитаном медицинской службы в вермахте. С декабря 1944 года работал заводским врачом в Касселе.
По окончании войны был арестован и предстал перед американским трибуналом, рассматривавшем преступления в концлагере Маутхаузен. 13 мая 1946 года был приговорён к смертной казни через повешение. Прошение о помиловании, поданное его сестрой, было отклонено. 28 мая 1947 года приговор был приведён в исполнение в Ландсбергской тюрьме.